Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，

∴DM==6，

∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t

∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12

∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；

（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图

∴．

②当点P在线段BC上时，即时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t

∴

化简得：3t²﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤，

则有PQ=34﹣5t

，

＜6，舍去

若点P在Q的左侧，

即，

则有PQ=5t﹣34，，

t=7.8．

综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t₂=7.8．

．