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如图,抛物线与直线交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为。点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由;

(3)若存在点P,使∠PCF=450,请直接写出相应的点P的坐标。

 

【答案】

(1)(2)平行四边形(3)P()或(

【解析】解:(1)∵直线经过点C,∴C(0,2)。

∵抛物线经过点C(0,2),D

,解得

∴抛物线的解析式为

(2)∵点P的横坐标为m且在抛物线上,

∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形。

时,

,解得:

即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形。

时,

,解得:(∵点P在y轴右侧的抛物线上,∴舍去)

即当时,四边形OCFP是平行四边形。

综上所述,当m=1或2或时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形。

(3)P()或()。

(1)由直线经过点C,求出点C的坐标;由抛物线经过点C,D两点,用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

(2)因为PF∥CO,所以当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况讨论即可。

(3)如图,当点P在CD上方且∠PCF=450时,

作PM⊥CD于点M,CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,

。∴PM=CM=2CF。

又∵,∴

解得:(舍去)。

∴P()。

当点P在CD下方且∠PCF=450时,

同理可以求得:另外一点为P()。

 

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