Question

如图的格点图中，每行（列）相邻两个格点之间都相距1个长度单位．
（1）如图，格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是2，还有一些格点与格点A、B构成的三角形面积也是2，请找出所有这样的格点，并在图上标示出来．

（2）有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD，请你找出所有这样的格点D，并在图中标出．

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有等边三角形？如有，将它们标示出来；
如没有，思考：在下面的8*8格点图中，是否存在以格点为顶点的等边三角形，如果存在，请标示出来，如果不存在，说明理由，一般地，对于任意大的格点图（如100*100个点的格点图），这个结论是否成立？

（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形，有没有以AB为底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有．
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形？如果一定有，说明你的构造方法；如果不一定有，思考：对于什么样的两点（即两点的坐标之间满足什么条件时）有．

Answer 1

解：（1）C₁、C₂、C₃、C₄，如图：

（2）D₁、D₂、D₃、D₄等7点，如图：

（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形．在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形．
说理方式很多，如可以将其中一个顶点选为坐标原点，分析另外两个顶点坐标的奇偶性，分别给予排除；也可以将其中一个顶点选为坐标原点后，分别设另两个顶点的坐标为（a，b），（c，d），证明a²+b²=c²+d²=（a-c）²+（b-d）²无整数解．
（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以AB为底的等腰直角三角形．
一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形．如果所给定两个格点的坐标为（a，b），（c，d），符合条件的第3个点有几个，如其中一个可以是（a+d-b，b+a-c）．
在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，不一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形．如果所给定两个格点的坐标为（a，b），（c，d），只有当a+d与b+c具有相同的奇偶性时，才存在以该两点所在线段为底的等腰直角三角形．
分析：（1）根据三角形面积相等即可找出要求的点C；
（2）根据等腰三角形两腰长相等即可得出答案；
（3）问题（2）所得到的等腰三角形中没有等边三角形．在8*8格点图乃至任意大的格点图中，都没有格点为顶点的等边三角形．
（4）问题（2）所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形，有以AB为底的等腰直角三角形．一般地，在充分大的格点图中，对于任意给定的两个格点，一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度较大，关键是掌握等腰三角形的等边对等角定理．