Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）3（3）P点坐标为（5，﹣5）

【解析】

（1）把A点和B点坐标分别代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；

（2）计算函数值为3所对应的自变量的值即可得到C点横坐标，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积；

（3）作PQ⊥BH于Q，如图，设P（m，-m2+4m），则利用S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP可得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．

（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得

，解得，

所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x；

（2）当y=3时，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，

则C点坐标为（3，3），

所以△ABC的面积=×2×3=3；

（3）作PQ⊥BH于Q，如图，设P（m，﹣m2+4m）．

∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，

∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）=×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+2×3，

整理得m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，

∴P点坐标为（5，﹣5）．