Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．

一定成立的结论有____________（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

①②③⑤．

【解析】

试题分析：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；

③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∴AD﹣DP=BE﹣QE，∴AP=BQ，（故③正确）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．

故答案为：①②③⑤．

考点：1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．动点型．