Question

如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．
（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=

2

时，求线段CG的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，可得OA与OC的关系，OD与OF的关系，∠AOC与∠DOF的关系，根据等式的性质，可得∠AOD与∠COF的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论；
（2）根据全等三角形的性质、对顶角的性质，可得三角形的两个对应角相等，可得三角形相似，根据相似三角形的性质，可得证明结论；
（3）根据勾股定理，可得OE的长，根据根据正方形的性质，可得OM、OD、OE的关系，根据线段的和差，可得AM的长，根据同一个角的正切的两种表达方式，可得OG的长，再根据线段的和差，可得答案．

解答：（1）解：AD=CF．
理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，
AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，（等式的性质）
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO=CO ∠AOC=∠COF OD=OF

，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明：如图2，设AD与CF交于点H

∵△AOD≌△COF（SAS）（已证）
∴∠OCF=∠GAO（全等三角形的对应角相等）．
∵∠CGH=∠AGO（对顶角相等），
∴△AOG∽△CHG（两个角对应相等的两个三角形相似）．
∴∠CHG=∠GOA=90°（相似三角形的对应角相等）．
∴AD⊥CF．  
（3）解：如图，连接DF交OE于M，则DF⊥OE，DM=OM=

1

2

OE，

∵正方形ODEF的边长为

2

，由勾股定理得
∴OE=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴DM=OM=OE×

1

2

=1，
∴AM=AO+OM=3+1=4（线段的和差）
在Rt△ADM中，tan∠DAM=

DM

AM

=

1

4

．
∴tan∠GAO=tan∠DAM=

1

4

=

OG

OA

，
∴OG=

1

4

OA=

3

4

∴CG=OC-OG=3-

3

4

=

9

4

．

点评：本题考查了四边形的综合题，（1）先证明三角形全等，再证明对应边相等；（2）先证明两个三角形相似，再证明相似三角形的对应角相等；（3）同一个角的正切的两种表达方式是解题关键．