Question

如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：连接BD，构造等边三角形．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质得到BC+CD=AC=a．
作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，将四边形ABCD的面积转化为S_△ABC和S_△ACD的面积之和解答．

解答：解：连接BD．
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴三角形ABD是等边三角形．
在AC上取CE=CD，连接DE．
∠ECD=∠ABD=60°，
∴△CDE是等边三角形．
CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，
∠ADE=∠BDC，
△ADE≌△BDC，
AE=BC，
BC+CD=AC=a．
作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G．
∠ACB=∠ADB=60°（同弧圆周角相等），
AF=AC•sin60°=

3 a

2

，
同理，AG=AC•sin60°=

3 a

2

，
四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD
=

BC•AF

2

+

AG•CD

2

=

3 a

2

×

BC+CD

2

=

3 a

4

•AC
=

3 a2

4

．

点评：此题是一道难题，考查了同学们构建特殊三角形、全等三角形解题的能力，是对同学们创造性思维的考验．