Question

20．已知，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标为A（-2，0），B（2，m），C（5，0）
（1）如图1，当m=4时，
①△ABC的面积为14；
②点E为线段OC上一个动点，连结BE并延长交y轴于点D，使S_△ADE=S_△BCE，请求出点D的坐标；
（2）如图2，当m＞0时，点F、N分别为线段AB、BC上一点，且满足AF=3BF，BN=2CN，连结CF、AN交于点P，请直接写出四边形BFPN的面积（用含有m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①利用三角形的面积公式计算即可；
②设出点D坐标，表示BD的解析式，进而得出点E坐标，表示出AE，CE，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可；
（2）如图3，由BN=2CN得：S_△ABN=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{3}$，同理S_△BFC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{8}$，S_△AFP=3S_△BFP，S_△BPN=2S_△PNC，设S_△BFP=a，S_△PNC=b，则S_△AFP=3a，S_△BPN=2b，列方程组可得a、b的值，可得结论．

解答 解：（1）①如图1，过点B作BH⊥AC于D，
当m=4时，B（2，4），
∴BH=4，
∵A（-2，0），C（5，0），
∴AC=7，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH=$\frac{1}{2}$×7×4=14，
故答案为：14；

②如图2，设D（0，b），
∵B（2，4），
设直线BD的解析式为：y=kx+b
把B（2，4）代入得：4=2k+b
k=$\frac{4-b}{2}$
∴直线BD的解析式为y=$\frac{4-b}{2}$x+b，
∴E（$\frac{2b}{b-4}$，0），
∴AE=$\frac{2b}{b-4}$+2，CE=4-$\frac{2b}{b-4}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×OD=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b），
S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE×|y_B|=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∵S_△ADE=S_△BCE，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{b-4}$+2）×（-b）=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2b}{b-4}$）×4，
∴b=4（舍）或b=-4，
∴D（0，-4）；

（2）如图3，∵BN=2CN，
∴BN=$\frac{2}{3}$BC，
∴S_△ABN=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{3}$，
∵AF=3BF，
∴BF=$\frac{1}{4}$AB，
∴S_△BFC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×7m=$\frac{7m}{8}$，
连接BP，
∵AF=3BF，BN=2CN，
∴S_△AFP=3S_△BFP，S_△BPN=2S_△PNC，
设S_△BFP=a，S_△PNC=b，则S_△AFP=3a，S_△BPN=2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b={S}_{△ABN}=\frac{7m}{3}}\\{a+3b={S}_{△BFC}=\frac{7m}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{21m}{40}}\\{b=\frac{7m}{60}}\end{array}\right.$，
∴S_{四边形BFPN}=S_△BFP+S_△BPN=a+2b=$\frac{21m}{40}$+2×$\frac{7m}{60}$=$\frac{91m}{120}$．

点评 此题是三角形与点的坐标的综合题，主要考查了三角形的面积公式，待定系数法；解②的关键是用面积相等建立方程，解（2）的关键是利用同高三角形面积的比等于对应底边的比．