Question

如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，若点D为△ABC外一点，且∠ADC=135°，判断BD和CD的位置关系．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：探究型

分析：通过观察可知BD⊥CD．要证BD⊥CD，只需证明B、C、D、A四点共圆，可过A、B、C三点作圆，设该圆与射线BD相交于点D′，连接AD′、CD′，如图所示，只需证到点D与点D′重合即可．

解答：解：BD⊥CD．
理由如下：
过A、B、C三点作圆，与射线BD相交于点D′，连接AD′、CD′，如图所示，
则A、B、C、D′四点共圆，
所以根据圆内接四边形的性质可得∠AD′C+∠ABC=180°．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠AD′C=135°．
∵∠ADC=135°，
∴∠AD′C=∠ADC，
∴点D与点D′重合，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC=90°，即BD⊥CD．

点评：本题着重考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，运用同一法是解决本题的关键．