Question

20．（1）如图1，已知△ABC中，以B、C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$BC长为半径画弧相交于M、N两点，连接MN交BC于点D，则线段BD与CD的数量关系为BD=CD．
（2）在（1）的基础上，取AB的中点E，连接DE并延长到F，使EF=DE，连接AF、BF、AD，得到图2．
①求证：四边形AFDC是平行四边形．
②当∠BAC=90°时，求证：AF=AD．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质即可判断；
（2）①只要证明AF=DC，AF∥DC即可；
②首先证明AD=BD=DC，根据AF=DC即可证明；

解答 （1）解：如图1中，

∵MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
故答案为BD=CD．                  

（2）如图2中，

证明：①∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵DE=EF，
∴四边形AFBD是平行四边形．       
∴AF∥BD，AF=BD．
由（1）得：BD=DC，
∴AF∥DC，AF=DC．
∴四边形AFDC是平行四边形．     

②∵∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC．
由①可得：AF=DC，
∴AF=AD．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形的斜边的中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．