Question

如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．
（1）当点E坐标为（3，0）时，试证明CE=EP；
（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE=EP是否成立，请说明理由；
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）可用同种方法证明：在OC上截取OG=OE，由正方形的性质可得CG=AE，∠EAP=∠CGE=135°，由同角的余角相等可得∠GCE=∠AEP，故有△GCE≌△AEP?CE=EP；
（3）过点B作BM∥EP交y轴于点M，由同角的余角相等可得∠4=∠6，又因为CE=OC，可得△BCM≌△COE?BM=CE，而CE=EP，则BM=EP，由一组对边平行有相等证得四边形BMEP是平行四边形，OM=CO-CM=5-t，故可求得点M的坐标．

解答：解：（1）（2）方法一：
在OC上截取ON=OE，

则AE=CN，∠EAP=∠CNE=135°
∵CE⊥EP
∴∠CEO+∠PEA=90°
又∵∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠NCE=∠AEP
∴△NCE≌△AEP
∴CE=EP，即不论点E的坐标是多少，都存在CE=EP，（1）（2）得证；

方法二：（1）过点P作PH⊥x轴，垂足为H
∴∠2=∠1=90°
∵EF⊥CE
∴∠3=∠4
∴△COE∽△EHP
∴

CO

OE

=

EH

HP

由题意知：CO=5，OE=3，EH=EA+AH=2+HP
∴

5

3

=

2+HP

HP

即HP=3
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中
∴CE=

CO2+OE2

=

34

，EP=

EH2+PH2

=

34

故CE=EP

（2）CE=EP仍成立，理由如下：
同理△COE∽△EHP，
∴

CO

OE

=

EH

HP

由题意知：CO=5，OE=t，EH=5-t+HP
∴

5

t

=

5-t+HP

HP

，整理得（5-t）HP=t（5-t），
∵点E不与点A重合，A（5，0），
∴5-t≠0
∴HP=t，
∴AH=t，
∴EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中
CE=

25+t2

EP=

25+t2

∴CE=EP

（3）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．
理由如下：
过点B作BM∥EP交y轴于点M
∴∠5=∠CEP=90°
∴∠4+∠ECB=90°，∠6+∠ECB=90°，
∴∠6=∠4
在△BCM和△COE中

∠6=∠4 BC=OC ∠BCM=∠COE

∴△BCM≌△COE（ASA）
∴BM=CE
而CE=EP
∴BM=EP
由于BM∥EP
∴四边形BMEP是平行四边形，
由△BCM≌△COE
可得CM=OE=t
∴OM=CO-CM=5-t
故点M的坐标为（0，5-t）．

点评：本题（1）（2）可用不同的方法证明，显然方法一简单，用了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，而方法二中要用到勾股定理，相似三角形的判定和性质，用变量表示线段的长，故复杂．（3）主要用到全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定．