Question

【题目】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．

问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；

②GE= ．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ．

【解析】

概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可；

性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．

概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：

∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．

∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；

问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．

在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；

②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．

又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．

∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=．

故答案为：．