Question

【题目】四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

首先延长AD到E，使DE=DC，连接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根据有一个角是60°的等腰三角形是等边角形证出△DEC是等边三角形，同理证出△ABC也是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=CB，DC=CE，∠3=∠4=60°，进而得到∠BCD=∠ACE，再证明△BCD≌△ACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC进行等量代换可得BD=AD+CD．

证明：延长AD到E，使DE=DC，连接CE，

∵∠ADC=120°，

∴∠1=180°120°=60°，

∵DC=DE，

∴△DEC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，

∴DC=CE,∠4=60°，

∵∠ABC=60°，AB=CB，

∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边角形)，

∴AC=CB,∠3=60°，

∴∠3=∠4=60°，

∴∠3+∠5=∠4+∠5，

即：∠BCD=∠ACE，

∵在△BCD和△ACE中：

，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴BD=AE(全等三角形对应边相等)，

∵AE=AD+DE=AD+DC，

∴DB=AD+DC.