Question

1．已知一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示．
（1）填空：AB=5，BC=$5\sqrt{2}$；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，
①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是（0，-2）或（0，8）；
②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；
（2）因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；
（3）过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
故答案为：5；$5\sqrt{2}$．
（2）①如图，

∵B（0，3），
∴OB=3，
∵AB=5，
∴AO=AB-BO=5-3=2，
∴A（0，-2）或（0，8）
故答案为：（0，-2）或（0，8）
（3）如图，

过点C作CF⊥OA与点F，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAF=∠OBA，
在△AOB和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFA=∠AOB=9{0}^{°}}\\{∠CAF=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CFA（AAS）；
∴OA=CF=4，OB=AF=3，
∴OF=7，CF=4，
∴C（-7，4）
∵A（-4，0）
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-7k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
则直线AC解析式为y=$-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD=∠CAB=90°，
∴AC∥BD，
∴设直线BD的解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+b₁，
把B（0，3）代入解析式的：b₁=3，
∴直线BD的解析式为y=$-\frac{4}{3}$x+3．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．