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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿着射线CB向右移动，以DE为一边在直线BC的上方作等边△DEF，连接CF，设点D、E运动的时间为t秒．
    （1）△DEF的边长为
     
    （用含有t的代数式表示），当t=
     
    秒时，点F落在AB上；
    （2）t为何值时，以点A为圆心，AF为半径的圆与△CDF的边所在的直线相切？
    （3）设点F关于直线AB的对称点为G，在△DEF运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）①根据运动的时间和速度，即可推出CD，CE的长度，便可推出边长DE的长度，②根据题意推出CF的长度，然后通过求∠CEF=60°，∠FCD=30°推出直角三角形，最后根据∠CEF的正切值推出t的值，（2）首先根据题意画出图形，然后逐个进行讨论解答，①当⊙A与DF相切，通过求证△ACD≌△AFD，即可推出此时BC与⊙A相切于点C，然后通过直角三角形中特殊角的函数值，即可推出t的值，②若⊙A与CF相切，根据（1）中已求证的结论，结合直角三角形中特殊角的函数值，即可推出t的取值，（3）分情况进行讨论，①若GE∥AC时，四边形ACEG为梯形，连接FH，通过相关角的度数关系推出CF，FH在同一条直线上，然后通过求证△ACB∽△HFE，推出
    EF
    BC
    =
    HE
    AB
    ，即可推出t的值；②若AG∥CE时，四边形ACEG为梯形，连接AF，FG，根据对称的性质，即可推出△AFM≌△AGM，即得∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，便可知∠AFE=90°，通过A，F，E在同一条直线上，推出△ACE是Rt△，最后根据直角三角形中特殊角的函数值即可推出t的值．
    解答：精英家教网解：（1）①∵点D、E从点C同时出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度移动，
    设点D、E运动的时间为t秒，
    ∴CD=1t=t，CE=2t，
    ∴DE=CE-CD=2t-t=t，
    ∵等边△DEF，
    ∴DE=DF=EF=t，即边长为t，
    ②当F在AB上时，
    ∵DE=t，
    ∴CD=DE=EF=DF=t，
    ∵等边△DEF，
    ∴∠FDE=60°，
    ∴∠FCD=30°，
    ∴∠ACF=60°，
    ∵∠A=60°，∠B=30°，
    ∴当F在AB，CF=AF=BF，
    ∵BC=6，
    ∴AB=4
    		3
    ，AC=2
    		3
    ，
    ∴CF=2
    		3
    ，
    ∵∠CEF=60°，
    ∴CF⊥EF，
    ∴sin60°=
    		3
    2
    =
    CF
    CE
    ，
    ∵CE=2t，
    ∴
    		3
    2
    =
    2
    		3
    2t
    ，
    ∴t=2，

    （2）①当⊙A与DF相切，连接AD，
    ∵⊙A与DF相切，
    ∴AB⊥DF，
    又∵AC⊥BC，
    ∴∠ACD=∠AFD=90°，
    又∵AD=AD，AC=AF，
    ∴△ACD≌△AFD（HL），
    ∴AF=AC，
    ∴BC与⊙A相切于点C，
    ∵AC=2
    		3
    ，∠FDB=60°，
    ∴∠ADC=60°，
    ∵CD=t，
    ∴tan60°=
    AC
    CD
    =
    		3
    ，
    ∴t=2（3分）
    ②若⊙A与CF相切，精英家教网
    ∴CF⊥AF，
    ∵AC=2
    		3
    ，∠ACF=60°，
    ∴cos60°=
    CF
    AC
    =
    1
    2
    ，
    ∴CF=
    		3
    ，
    ∵∠FCE=30°，∠FEC=60°，
    ∴EF⊥CF，
    ∴cos30°=
    CF
    CE
    =
    		3
    2
    ，
    ∵CE=2t，
    ∴
    		3
    2t
    =
    		3
    2
    ，
    ∴t=1，

    （3）当t=1.5或t=1时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形，
    ①如图：若GE∥AC时，四边形ACEG为梯形，精英家教网
    连接FH，
    ∵AC⊥BC，
    ∴GE⊥BC，
    ∵∠B=30°，
    ∴∠G=30°，
    ∵F、G两点关于AB成对称点，
    ∴∠GFH=30°，
    ∵∠FEC=60°，
    ∴∠FEG=30°，
    ∴∠GFE=120°，
    ∴∠HFE=90°，
    ∵∠CFD=60°，∠DEF=30°，
    ∴∠CFH=180°，即CF，FH在同一条直线上，
    ∵∠ACF=∠A=60°，∠FCB=∠B=30°，
    ∴CH=AH=HB，
    ∵AB=4
    		3
    ，
    ∴CH=AH=HB=2
    		3
    ，
    ∴HE=
    		3
    ，
    ∵∠FEH=∠B=30°，∠ACB=∠HFE=90°，
    ∴△ACB∽△HFE，
    ∴
    EF
    BC
    =
    HE
    AB
    ，
    ∵AB=4
    		3
    ，BC=6，
    ∴HE=
    		3
    ，EF=t，
    ∴t=1.5

    ②若AG∥CE时，四边形ACEG为梯形，精英家教网
    连接AF，FG，设与AB交于M点，
    ∵G，F两点关于AB对称，
    ∴AF=AG，FM=GM，AB⊥FG，
    ∴△AFM≌△AGM，
    ∴∠FAM=∠GAM，∠AFM=∠AGM，
    ∵AG∥BC，
    ∴∠B=∠GAM=30°，
    ∴∠FAM=30°，
    ∴∠AFM=60°，
    ∵∠FED=60°，∠B=30°，
    ∴∠FEB=120°，
    ∵在四边形MFEB中，∠FMB=90°，
    ∴∠FEB=120°，
    ∵∠CFE=90°，∠AFM=60°，
    ∴∠AFE=180°，
    ∴A，F，E在同一条直线上，
    ∵∠AFC=90°，
    ∴△ACE是直角三角形，
    ∵∠CEF=60°，
    ∴tan60°=
    AC
    EC
    =
    		3
    ，即
    2
    		3
    2t
    =
    		3
    ，
    ∴t=1．
    ③如备用图：
    精英家教网，
    当t=
    3+
    		21
    2
    时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形．
    综上可得当t=1.5或t=1或
    3+
    		21
    2
    时，使得以A、C、E、G为顶点的四边形为梯形．
    点评：本题主要考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、等边三角形的性质，关键在于正确地作辅助线，认真地计算，熟练运用相关的定理和性质．
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    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

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    度．

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