Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）试说明：BD+CE=DE．
（2）若直线AE绕点A旋转，使B、C在AE的两侧，如图2、3，其他条件不变，则BD，DE与CE的并系如何？请分别写出结论，并说明理由．

Answer 1

（1）解：∵CE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠DBA+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ACE和△BAD中

∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴AD=CE，AE=BD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE．

（2）解：图2中，BD-CE=DE，
理由是：∵CE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠DBA+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ACE和△BAD中，
，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴AD=CE，AE=BD，
∵AE-AD=DE，
∴BD-CE=DE．

图3中，CE-BD=DE，
理由是：∵CE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠DBA+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ACE和△BAD中，
，
∴△ACE≌△BAD（AAS），
∴AD=CE，AE=BD，
∵AD-AE=DE，
∴CE-BD=DE．
分析：（1）求出∠CEA=∠BDA=90°，∠CAE=∠ABD，根据AAS证△ACE≌△BAD，推出AD=CE，AE=BD，即可得出答案；
（2）求出∠CEA=∠BDA=90°，∠CAE=∠ABD，根据AAS证△ACE≌△BAD，推出AD=CE，AE=BD，即可得出答案．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．