解:(1)∵
分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。
将x=0,y=2代入y=﹣x
2+bx+c得c=2;
将x=4,y=0代入y=﹣x
2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=
。
∴抛物线解析式为:y=﹣x
2+
x+2。
(2)如图1,
设MN交x轴于点E,则E(t,0),BE=4﹣t。
∵
,
∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)×
=2﹣
t。
又∵N点在抛物线上,且x
N=t,∴y
N=﹣t
2+
t+2。
∴
。
∴当t=2时,MN有最大值4。
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
如图2,
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形。
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a),
由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a
1=6,a
2=﹣2,
从而D为(0,6)或D(0,﹣2)。
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D
1N与D
2M的交点,
由D
1(0,6),N(2,5)易得D
1N的方程为y=
x+6;
由D
2(0,﹣2),M(2,1)D
2M的方程为y=
x﹣2。
由两方程联立解得D为(4,4)。
综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。
(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
(2)求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值。
(3)明确D点的可能位置有三种情形,如图2所示,不要遗漏.其中D
1、D
2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D
3点在第一象限,是直线D
1N和D
2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标。