Question

【题目】如图①，双曲线y＝（k≠0）和抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD＝90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：，双曲线的解析式为：y＝．（2）存在点P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．（3）.

【解析】

（1）根据抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），代入计算即可得到抛物线的解析式. 把B（3，1）代入y＝（k≠0）计算可得双曲线的解析式.

（2）根据B、C点的坐标计算BC所在的直线方程，根据直线方程可得与坐标轴的交点，因此可计算的OM的长度，再计算BO、CO的长度，可得tan∠COM，根据等量替换可得tan∠POE，设P点的横坐标，即可表示纵坐标，进而计算的P点的坐标.

（3）首先根据C点的坐标，计算CO所在直线的解析式，再根据CO所在的直线与双曲线的交点为D，计算D点的坐标，根据B点的坐标计算OB所在直线的斜率，进而计算直线l的解析式，再根据直线l和DF所在的直线交点为F，计算点F的坐标，进而计算DF的长度，再根据相似比例可得.

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x，

把B（3，1）代入y＝（k≠0）得：1＝，

解得：k＝3，

∴双曲线的解析式为：y＝．

（2）存在点P，使得∠POE+∠BCD＝90°；

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），设直线BC为y＝kx+n，

∴ ，

解得k＝1，n＝﹣2，

∴直线BC为：y＝x﹣2，

∴直线BC与坐标轴的交点（2，0），（0，﹣2），

过O作OM⊥BC，则OM＝，

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴OB＝OC＝，

∴BM＝

∴tan∠COM＝，

∵∠COM+∠BCD＝90°，∠POE+∠BCD＝90°，

∴∠POE＝∠COM，

∴tan∠POE＝2，

∵P点是抛物线上的点，设P（m，﹣m2+m），

∴ ，

解得：m＝，

∴P（，1）．

综上所述，存在点P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．

（3）∵直线CO过C（﹣1，﹣3），

∴直线CO的解析式为y＝3x，

解 ，

解得，

∴D（1，3），

∵B（3，1），

∴直线OB的斜率＝ ，

∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，

∴DF∥OB，

∴直线l的斜率＝﹣3，直线DF的斜率＝ ，

∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），

∴直线l的解析式为y＝﹣3x+10，直线DF解析式为y＝x+，

解 ，

解得 ，

∴F（，），

∴DF＝＝ ，

∵DF∥OB，OB＝ ，

∴△DNF∽△BNO，

∴ ．