Question

8．如图，△ABC中D、E、F分别是各边的中点，连接AE、DF．
（1）AE、DF有什么关系？
（2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？
（3）△ABC满足什么条件时，AE=DF？
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？

Answer 1

分析 （1）证出DE、EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥AC，EF∥AB，证出四边形ADEF为平行四边形，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出AE⊥BC，证出DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DF∥BC，因此AD⊥DF．
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=$\frac{1}{2}$BC，然后由三角形中位线定理得到DF=$\frac{1}{2}$BC；则DF=AE；
（4）由（2）（3）的结论直接得到结论．

解答 解：（1）AE与DF互相平分，理由如下：
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AE与DF互相平分．
（2）当△ABC是等腰三角形，即：AB=AC时，AE⊥DF；理由如下：
∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵D、F分别是AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，
∴AD⊥DF，
（3）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，AE=DF；理由如下：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，E为BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
又∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC．
∴DF=AE，
（4）当△ABC等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形ADEF是正方形；
理由如下：
由（1）知，四边形AFDE是平行四边形，
由（2）知，AD⊥EF，
∴平行四边形AFDE是菱形，
由（3）知，AD=DF，
∴菱形AFDE是正方形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形AFDE为平行四边形是解决问题的关键．