【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,0),其顶点为.
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)将抛物线C1绕点B旋转180°,得到抛物线C2,求抛物线C2的表达式;
(3)再将抛物线C2沿x轴向右平移得到抛物线C3,设抛物线C3与x轴分别交于点E、F(E在F左侧),顶点为G,连接AG、DF、AD、GF,若四边形ADFG为矩形,求点E的坐标.
【答案】(1)y;(2);(3)E(,0).
【解析】
(1)根据抛物线C1的顶点坐标可设顶点式将点B坐标代入求解即可;
(2)由抛物线C1绕点B旋转180°得到抛物线C2知抛物线C2的顶点坐标,可设抛物线C2的顶点式,根据旋转后抛物线C2开口朝下,且形状不变即可确定其表达式;
(3)作GK⊥x轴于G,DH⊥AB于H,由题意GK=DH=3,AH=HB=EK=KF,结合矩形的性质利用两组对应角分别相等的两个三角形相似可证△AGK∽△GFK,由其对应线段成比例的性质可知AK长,结合A、B点坐标可知BK、BE、OE长,可得点E坐标.
解:(1)∵抛物线C1的顶点为,
∴可设抛物线C1的表达式为y,
将B(﹣1,0)代入抛物线解析式得:,
∴,
解得:a,
∴抛物线C1的表达式为y,即y.
(2)设抛物线C2的顶点坐标为
∵抛物线C1绕点B旋转180°,得到抛物线C2,即点与点关于点B(﹣1,0)对称
∴抛物线C2的顶点坐标为()
可设抛物线C2的表达式为y
∵抛物线C2开口朝下,且形状不变
∴抛物线C2的表达式为y,即.
(3)如图,作GK⊥x轴于G,DH⊥AB于H.
由题意GK=DH=3,AH=HB=EK=KF,
∵四边形AGFD是矩形,
∴∠AGF=∠GKF=90°,
∴∠AGK+∠KGF=90°,∠KGF+∠GFK=90°,
∴∠AGK=∠GFK.
∵∠AKG=∠FKG=90°,
∴△AGK∽△GFK,
∴,
∴,
∴AK=6,
,
∴BE=BK﹣EK=3,
∴OE,
∴E(,0).
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【题目】如图,已知Rt△ACE中,∠AEC=90°,CB平分∠ACE交AE于点B,AC边上一点O,⊙O经过点B、C,与AC交于点D,与CE交于点F,连结BF。
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若,AE=8,求⊙O的半径;
(3)在(2)条件下,求BF的长。
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【题目】如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF.
(1)求证:∠C=90°;
(2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标.
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【题目】某中学为了解学生平均每天“诵读经典”的时间,在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计(设每天的诵读时间为分钟),将调查统计的结果分为四个等级:Ⅰ级、Ⅱ级、Ⅲ级、Ⅳ级.将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
()请补全上面的条形图.
()所抽查学生“诵读经典”时间的中位数落在__________级.
()如果该校共有名学生,请你估计该校平均每天“诵读经典”的时间不低于分钟的学生约有多少人?
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【题目】在一个不透明的袋子里有1个红球和n个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于左右,求n的值;
(2)在(1)的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
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【题目】为了给游客提供更好的服务,某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.
满意度 | 人数 | 所占百分比 |
非常满意 | 12 | 10% |
满意 | 54 | m |
比较满意 | n | 40% |
不满意 | 6 | 5% |
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的总人数为______,表中m的值为_______;
(2)请补全条形统计图;
(3)据统计,该景区平均每天接待游客约3600人,若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定,请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,AD交y轴于点F,E为CD的中点.若OB=1,BD=2EF时,反比例函数y=的图象经过D,E两点,则k的值为_____.
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