【题目】如图AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC、AB的平行线,交AB于点E,交AC于点F.
(1)求证:四边形AEDF是菱形.
(2)若AF=13,AD=24.求四边形AEDF的面积.
【答案】(1)见解析;(2)120
【解析】
(1)先证明四边形AEDF是平行四边形.再证明∠ADE=∠BAD.可得EA=ED.则结论得证;
(2)连接EF交AD于点O.求出OE=OF=5,则四边形AEDF的面积可求出.
(1)证明:∵AB∥DF,AC∥DE,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
又∵AC∥DE,
∴∠ADE=∠DAC.
∴∠ADE=∠BAD.
∴EA=ED.
∴四边形AEDF是菱形.
(2)解:连接EF交AD于点O.
∵四边形AEDF是菱形,
∴EF=2FO.
∴AO=.
∵AD⊥EF.
在Rt△AOF中,由勾股定理得OF=.
∴OE=OF=5.
∴四边形AEDF的面积=.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AC∥DE,当AB=12,CE=3时,求AC的长.
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【题目】数学概念
在两个等腰三角形中,如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的腰长和顶角的度数,那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形.
概念理解
(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形(保留作图痕迹,不写作法).
特例分析
(2)①在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,,求它的姊妹三角形的顶角的度数和腰长;
②如图②,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,连接BD.若△ABC与△ABD互为姊妹三角形,且△ABC∽△BCD,则∠A= °.
深入研究
(3)下列关于姊妹三角形的结论:
①每一个等腰三角形都有姊妹三角形;
②等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形;
③如果两个等腰三角形互为姊妹三角形,那么这两个三角形可能全等;
④如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形,那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形.
其中所有正确结论的序号是 .
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【题目】抛物线的对称轴为直线,图象过点,部分图象如图所示,下列判断:①;②;③;④若点,均在抛物线上,则,其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在四边形中,,,对角线,点在轴上,与轴平行,点在轴上.
(1)求的度数.
(2)点在对角线上,点在四边形内且在点的右边,连接,已知,,设.
①求的长(用含的代数式表示);
②若某一反比例函数图象同时经过点、,求的值.
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【题目】如图1(注:与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点三点,,.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是抛物线对称轴上的一点,求满足的值为最小的点坐标(请在图1中探索);
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点,使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形?若存在,请求出点坐标,若不存在请说明理由.(请在图2中探索)
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【题目】如图,在矩形中,,点是的中点,点为对角线上的动点,设,作于点,连结并延长至点,使得,作点关于的对称点,交于点,连结.
(1)求证:;
(2)当点运动到对角线的中点时,求的周长;
(3)在点的运动的过程中,是否可以为等腰三角形?若可以,求出的值;若不可以,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)求抛物线的对称轴(用含的式子去表示);
(2)若点,,都在抛物线上,则、、的大小关系为_______;
(3)直线与轴交于点,与轴交于点,过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点,在抛物线对称轴右侧的点记为,当为钝角三角形时,求的取值范围.
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