Question

2．已知，如图抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点B的坐标为（1，0），OC=4OB可得出C点坐标，再把BC两点的坐标代入抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）求出a，c的值即可；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM=-（x+2）²+4，再由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD即可得出结论；
（3）①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x²+3x-4=4得出x的值即可得出P点坐标．

解答 解：（1）∵OC=4OB，B（1，0），
∴C（0，-4）．
把点B，C的坐标代入y=ax²+3ax+c，得a+3a+c=0，c=-4，
解得a=1，c=-4，
∴抛物线线的解析式为：y=x²+3x-4；

（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为y=x²+3x-4，
∴A（-4，0），
∴AB=5，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB×OC++$\frac{1}{2}$×DM×（AN+ON）=10+$\frac{1}{2}$×DM×（AN+ON）=10+2DM，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=0\\ b=-4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=-4\end{array}\right.$，
故直线AC的解析式为：y=-x-4．
令D（x，x²+3x-4），M（x，-x-4），则DM=-x-4-（x²+3x-4）=-（x+2）²+4，
当x=-2时，DM有最大值4，此时四边形ABCD面积有最大值为18；
另解：连接OD令D（x，x²+3x-4），
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-4），
∴S_{四边形ABCD}=S_△OBC+S_△AOD+S_△OCD
=$\frac{1}{2}$OB•OC+$\frac{1}{2}$OA•|x²+3x-4|+$\frac{1}{2}$OC|x|
=$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×4×（x²+3x-4）-$\frac{1}{2}$×4x
=-（x+2）²+18，
∴当x=-2时，此时四边形ABCD面积有最大值为18；

（3）①如图2，过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形．
∵C（0，-4），令x²+3x-4=-4，
∴x=0或x=-3．
∴P₁（-3，-4）．
②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-4），
∴可令P（x，4），由x²+3x-4=4，得x²+3x-8=0．
解得x=-3+$\sqrt{41}$或x=-3-$\sqrt{41}$．
此时存在点P₂（-3+$\sqrt{41}$，4）和P₃（-3-$\sqrt{41}$，4）
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P₁（-3，-4），P₂（-3+$\sqrt{41}$，4），P₃（-3-$\sqrt{41}$，4）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．