Question

1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=-$\frac{2}{3}$x的图象交于点C，点C的横坐标为-3．
（1）求点B的坐标；
（2）若点Q为直线OC上一点，且S_△QAC=3S_△AOC，求点Q的坐标；
（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．
①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）
②求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；
（2）由S_△QAC=3S_△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；
（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；
②如图3，作P₁F⊥CD于F，P₁E⊥OC于E，作P₂H⊥CD于H，P₂G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，$\frac{|5a-0+17|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2a+3×0|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$，解出a的值即可．

解答 解：（1）把x=-3代入y=-$\frac{2}{3}$x得到：y=2．则C（-3，2）．
将其代入y=mx+5m，得
2=-3m+5m，
解得 m=1．
则该直线方程为：y=x+5．
令x=0，则y=5，
即B（0，5）；

（2）由（1）知，C（-3，2）．
如图1，设Q（a，-$\frac{2}{3}$a）．
∵S_△QAC=3S_△AOC，
∴S_△QAO=4S_△AOC，或S_△Q′AO=2S_△AOC，
①当S_△QAO=4S_△AOC时，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=4×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=4y_C，即|-$\frac{2}{3}$a|=4×2=8，
解得 a=-12或6，
∴Q（-12，8）或（6，-4）．
②当S_△Q′AO=2S_△AOC时，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=2×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=2y_C，即|-$\frac{2}{3}$a|=2×2=4，
解得 a=6（舍去负值），
∴Q′（6，-4）；

（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；
②如图3，作P₁F⊥CD于F，P₁E⊥OC于E，作P₂H⊥CD于H，P₂G⊥OC于G．
∵C（-3，2），A（-5，0），
∴AC=$\sqrt{[-3-（-5）]^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，
∴△CAO∽△DAC，
∴$\frac{AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴AD=$\frac{8}{5}$，
∴OD=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
则D（-$\frac{17}{5}$，0）．
设CD解析式为y=kx+b，
把C（-3，2），D（-$\frac{17}{5}$，0）分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{17}{5}k+b=0\\-3k+b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=5\\ b=17\end{array}\right.$，
函数解析式为y=5x+17，
设P点坐标为（a，0），
根据点到直线的距离公式，$\frac{|5a-0+17|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2a+3×0|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$，
两边平方得，（5a+17）²=2×4a²，
解得a=-5±2$\sqrt{2}$，
∴P₁（-5-2$\sqrt{2}$，0），P₂（-5+2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．