分析 (1)把点C的横坐标代入正比例函数解析式,求得点C的纵坐标,然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值,则易求点B的坐标;
(2)由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍;
(3)①如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P;
②如图3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G.利用△CAO∽△DAC,求出AD的长,进而求出D点坐标,再用待定系数法求出CD解析式,利用点到直线的距离公式求出公式,$\frac{|5a-0+17|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2a+3×0|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$,解出a的值即可.
解答 解:(1)把x=-3代入y=-$\frac{2}{3}$x得到:y=2.则C(-3,2).
将其代入y=mx+5m,得
2=-3m+5m,
解得 m=1.
则该直线方程为:y=x+5.
令x=0,则y=5,
即B(0,5);
(2)由(1)知,C(-3,2).
如图1,设Q(a,-$\frac{2}{3}$a).
∵S△QAC=3S△AOC,
∴S△QAO=4S△AOC,或S△Q′AO=2S△AOC,
①当S△QAO=4S△AOC时,
$\frac{1}{2}$OA•yQ=4×$\frac{1}{2}$OA•yC,
∴yQ=4yC,即|-$\frac{2}{3}$a|=4×2=8,
解得 a=-12或6,
∴Q(-12,8)或(6,-4).
②当S△Q′AO=2S△AOC时,
$\frac{1}{2}$OA•yQ=2×$\frac{1}{2}$OA•yC,
∴yQ=2yC,即|-$\frac{2}{3}$a|=2×2=4,
解得 a=6(舍去负值),
∴Q′(6,-4);
(3)①如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P;
②如图3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G.
∵C(-3,2),A(-5,0),
∴AC=$\sqrt{[-3-(-5)]^{2}+(2-0)^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∵∠ACD=∠AOC,∠CAO=∠DAC,
∴△CAO∽△DAC,
∴$\frac{AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$,
∴AD=$\frac{8}{5}$,
∴OD=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$,
则D(-$\frac{17}{5}$,0).
设CD解析式为y=kx+b,
把C(-3,2),D(-$\frac{17}{5}$,0)分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{17}{5}k+b=0\\-3k+b=2\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}k=5\\ b=17\end{array}\right.$,
函数解析式为y=5x+17,
设P点坐标为(a,0),
根据点到直线的距离公式,$\frac{|5a-0+17|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2a+3×0|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$,
两边平方得,(5a+17)2=2×4a2,
解得a=-5±2$\sqrt{2}$,
∴P1(-5-2$\sqrt{2}$,0),P2(-5+2$\sqrt{2}$,0).
点评 本题考查了一次函数综合题,涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,综合性较强,值得关注.
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