Question

18．已知AB∥CD，BC=CD，点E在直线BC上，连接AE，∠BCD=∠DAE=60°．
（1）当点E在BC边上时，如图1，求证：AB+BE=DC；
（2）如图2、图3，线段AB、BE、DC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=2，∠AEB=15°，则CD=$\sqrt{3}$+1或2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （1）连接BD，在BD上截取BF=BA，连接AF，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，以及线段的和差关系进行推导即可；
（2）分两种情况讨论：如图2，连接BD并延长，在BD上截取BF=BA，连接AF，证得线段AB、BE、DC的数量关系为：AB-BE=DC；如图3，连接DB并延长，在DB的延长线上截取BF=BA，连接AF，证得线段AB、BE、DC的数量关系为：BE-AB=DC；
（3）如图4，由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，在DF上截取FG=AF，根据AG=DG，列出方程求解；如图5，由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，在DB上截取BG=AB，根据AG=DG，列出方程求解．

解答 解：（1）如图1，连接BD，在BD上截取BF=BA，连接AF，则
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB=60°，BD=CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=60°，∠ABE=120°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF=AB=BF，∠AFD=120°，∠BAF=60°，
∴∠AFD=∠ABE，
又∵∠DAE=60°，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵BF+DF=BD，
∴AB+BE=DC；

（2）如图2，线段AB、BE、DC的数量关系为：AB-BE=DC；如图3，线段AB、BE、DC的数量关系为：BE-AB=DC；
理由：如图2，连接BD并延长，在BD上截取BF=BA，连接AF，则易证△BCD、△ABF都是等边三角形，
∴AB=AF=BF，∠F=∠ABE=60°，∠BAF=∠DAE=60°，CD=BD，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵BF-DF=BD，
∴AB-BE=DC；
如图3，连接DB并延长，在DB的延长线上截取BF=BA，连接AF，则易证△BCD、△ABF都是等边三角形，
∴AB=AF=BF，∠F=∠ABE=60°，∠BAF=∠DAE=60°，CD=BD，
∴∠DAF=∠EAB，
∴△ADF≌△AEB（ASA），
∴DF=BE，
∵DF-BF=BD，
∴BE-AB=DC；

（3）如图4，BE=2，∠AEB=15°，则由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，
在DF上截取FG=AF，则∠AGF=∠GAF=30°，∠ADF=∠DAG=15°，
∴∠GAB=90°，AG=DG，
设AB=BF=AF=x，则AG=$\sqrt{3}$x，GF=x，故DG=DF-GF=2-x，
∴$\sqrt{3}$x=2-x，
解得x=$\sqrt{3}$-1，
∴DB=2+$\sqrt{3}$-1=$\sqrt{3}$+1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1；
如图5，BE=2，∠AEB=15°，则由△ADF≌△AEB可得，∠ADF=15°，DF=2，
在DB上截取BG=AB，则∠AGB=∠GAB=30°，∠ADF=∠DAG=15°，
∴∠GAF=90°，AG=DG，
设AB=BF=AF=x，则AG=$\sqrt{3}$x，GB=x，故DG=DF-GF=2-2x，
∴$\sqrt{3}$x=2-2x，
解得x=4-2$\sqrt{3}$，
∴DB=2-（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=2$\sqrt{3}$-2；
故答案为：$\sqrt{3}$+1或2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查了三角形的综合应用，解题时需要运用全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，等边三角形以及直角三角形．解题时注意方程思想的灵活运用．