Question

19．【阅读】如图（1），点P（x，y）在平面直角坐标系中，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，将点P绕垂足A顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到对应点P′，我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动．例如：点P（0，2）倾斜30°运动后的对应点为P′（1，$\sqrt{3}$）．图形E在平面直角坐标系中，图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E'，这样的运动称为图形E的倾斜α运动．
【理解】（1）点Q（1，2）倾斜60°运动后的对应点Q'的坐标为$（1+\sqrt{3}，1）$；
（2）如图（2），平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′，M′N′与MN平行且相等吗？说明理由．
应用：（1）如图（3），正方形AOBC倾斜α运动后，其各边中点E，F，G，H的对应点E′，F′，G′，H′构成的四边形是什么特殊四边形：矩形；
（2）如图（4），已知点A（0，4），B（2，0），C（3，2），将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′为直角？其中点A′，B′，C′为点A，B，C的对应点．若能，请写出cosα的值，若不能，请说明理由．参考公式：（sinα）²+（cosα）²=1（0°＜α＜90°）

Answer 1

分析 （1）根据旋转得出△QAQ'是等边三角形，解答即可；
（2）根据旋转的性质得出构成的四边形是平行四边形，证明即可；
应用：（1）根据旋转得出构成的四边形是矩形；
（2）根据旋转的性质和三角函数解答即可．

解答 解：（1）∵点Q（1，2）倾斜60°运动后的对应点Q'，过Q'作Q'E⊥OA，如图1，

∴AQ'=AQ，∠QAQ'=60°，
∴△QAQ'是等边三角形，
∴Q'E=$\frac{1}{2}AQ'$=1，AE=$\sqrt{3}$Q'E=$\sqrt{3}$，
∴Q'的纵坐标是1，横坐标是1+$\sqrt{3}$，
故答案为：$（1+\sqrt{3}，1）$；
（2）因为平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′，如图2，

所以可得M′N′与MN平行且相等，
∵MN与x轴构成的四边形是矩形，
∴M′N′与x轴构成的四边形是平行四边形，
∴M′N′与MN平行且相等；
应用：（1）正方形AOBC倾斜α运动后，其各边中点E，F，G，H的对应点E′，F′，G′，H′构成的四边形是矩形；故答案为：矩形；
（2）设AB的中点为D，D点坐标为（1，2），
则CD∥x轴，且CD=2，
D点对应点D'为A'B'中点，
且C'D'=2，
而$C'D'=\frac{1}{2}A'B'$，
则A'B'=4=OA'，
易得$∠α=\frac{1}{2}∠OA'B'$，
∴$cosα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．

点评 此题主要考查了几何变换综合题，关键是根据旋转的性质，掌握旋转后对应线段相等分析．