Question

如图，矩形纸片ABCD长AD为4cm，宽AB为3cm，折叠纸片使各相对两顶点A、C重合．
（1）求折痕EF的长；
（2）证明折痕EF垂直其中一条对角线．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AF=FC，CG=

1

2

AC，设AF=FC=x，表示出BF，再利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式求出FG，再利用“角角边”证明△AEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=FG，然后求解即可；
（2）根据翻折变换的性质可得∠AGF=∠CGF，再根据平角的定义求出∠AGF=90°，从而得证．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=4cm，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
由翻折变换的性质得，AF=FC，AG=CG=

1

2

AC=

5

2

，
设AF=FC=x，则BF=4-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得x=

25

8

，
在Rt△CFG中，FG=

FC2-CG2

=

( 25 8 )2-( 5 2 )2

=

15

8

，
∵矩形的对边AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，∠AEF=∠CFE，
在△AEG和△CFG中，

∠ACB=∠DAC ∠AEF=∠CFE AG=CG

，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG=FG，
∴折痕EF=2FG=2×

15

8

=

15

4

；

（2）证明：∵折叠纸片两顶点A、C重合，
∴∠AGF=∠CGF，
又∵∠AGF+∠CGF=180°，
∴∠AGF=90°，
∴EF⊥AC，
即折痕EF垂直其中一条对角线．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，全等三角形判定与性质，难点在于利用勾股定理列出方程求出相应的边长．