【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣ ).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0),
又∵函数的顶点坐标为(3,﹣ ),
∴ ,
解得: ,
故函数解析式为:y= x2﹣ x,
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0)
(2)
解:∵S△POA=2S△AOB,
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2 ,
代入函数解析式得:2 = x2﹣ x,
解得:x1=3+3 ,x2=3﹣3 ,
即满足条件的点P有两个,其坐标为:P1(3+3 ,2 ),P2(3﹣3 ,2 )
(3)
解:存在.
① 当点Q与点B重合时,满足△AQO与△AOB相似,
此时点Q的坐标为(3,﹣ );
②当点Q与点B不重合时,
过点B作BP⊥OA,则tan∠BOP= = ,
故可得∠BOA=30°,
设Q1坐标为(x, x2﹣ x),过点Q1作Q1F⊥x轴,
∵△OAB∽△OQ1A,
∴∠Q1OA=30°,
故可得OF= Q1F,即x= ( x2﹣ x),
解得:x=9或x=0(舍去),
经检验得此时OA=AQ1,△OQ1A是等腰三角形,且和△OBA相似.
即可得Q1坐标为(9,3 ),
根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3 ).
∴在抛物线上存在点Q,使△AQO与△AOB相似,其坐标为:(3,﹣ )或(9,3 )或(﹣3,3 )
【解析】(1)根据函数经过原点,可得c=0,然后根据函数的对称轴,及函数图象经过点(3,﹣ )可得出函数解析式,根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标.(2)根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2 ,代入函数解析式可得出点P的横坐标;(3)分情况讨论,①点Q与点B重合可直接得出点Q的坐标;②点Q不与点B重合,先求出∠BOA的度数,然后可确定∠Q1OA=的度数,继而利用解直角三角形的知识求出x,得出Q1的坐标,利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点),还要掌握二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“校园手机”现象越来越受到社会的关注.“寒假”期间,某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图:
(1)求这次调查的家长人数,并补全图1;
(2)求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数;
(3)已知某地区共6500名家长,估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将连续的奇数1,3,5,7…按图1中的方式排成一个数表,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数(如图2)分别用a,b,c,d,x表示.
(1)若x=17,则a+b+c+d= .
(2)移动十字框,用x表示a+b+c+d= .
(3)设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如果A、B、C三点在同一直线上,且线段AB=6 cm,BC=4 cm,若M,N分别为AB,BC的中点,那么M,N两点之间的距离为( )
A. 5 cm B. 1 cm C. 5或1 cm D. 无法确定
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于点Q。
(1)求证:OP=OQ;
(2)若AD=8cm,AB=6cm,P从点A出发,以1cm/秒的速度向点D运动(不与点D重合),设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求当t为何值时,四边形PBQD是菱形。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】A、B、C、D、E五位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.
(1)若已确定A打第一场,再从其余四位同学中随机选取一位,求恰好选中B同学的概率;
(2)请用画树状图或列表法,求恰好选中A、B两位同学的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(10分)将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】关于x的方程2(x﹣3)﹣m=2的解和方程3x﹣7=2x的解相同.
(1)求m的值;
(2)已知线段AB=m,在直线AB上取一点P,恰好使AP=2PB,点Q为PB的中点,求线段AQ的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com