Question

6．如图1，点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，3），抛物线的经过B，C，D三点，且顶点为A．
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图2，平行于x轴的直线y=m（0＜m＜4）分别于AO、AC交于点E和F，若将△AEF沿EF折叠，设折叠后的△A′EF与△AOC重叠部分的面积为S．
①用含m的代数式表示线段EF的长；
②试求S与m的函数关系式及m的取值范围．
（3）请在直线BD上找一点M，使△ACM的周长最小，求出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）告诉了抛物线与x轴的两个交点坐标，因此将抛物线解析式设交点式，再将D点坐标代入即可求出解析式，将解析式配成顶点式即可得A点坐标；
（2）①利用△AEF∽△AOC，列出线段比例即可表示出EF；
②分两种情况：第一种，2≤m＜4时，重叠部分的面积就是△AEF的面积，直接求△AEF的面积即可；第二种，0＜m＜2时，重叠部分的面积是一个梯形，同样根据相似，先表示出梯形的上底，再直接用梯形面积公式求出即可；
（3）先求出点A关于直线BD的对称点P，连接CP与BD的交点即为满足要求的点．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
将D（0，3）代入解析式得：3=-3a，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴A（1，4）．
（2）①由△AEF∽△AOC可得：$\frac{4-m}{4}=\frac{EF}{OC}$，
即：$\frac{4-m}{4}=\frac{EF}{3}$，
∴EF=$\frac{3}{4}（4-m）$．
②当2≤m＜4时，重叠部分的面积就是△AEF的面积，
${S=S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×EF×（4-m）$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}（4-m）×（4-m）=\frac{3}{8}（m-4）^{2}$；
当0＜m＜2时，如下图所示：

A'E与x轴交于点G，A'F与x轴交于点H，
$\frac{GH}{EF}=\frac{2（4-m）-4}{4-m}$，
∴GH=3-$\frac{3}{2}m$，
$S={S}_{EFHG}=\frac{1}{2}×（EF+GH）×m$=$-\frac{9}{8}{m}^{2}$+3m，
综上所述：$S=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{8}{m}^{2}+3m（0＜m＜2）}\\{\frac{3}{8}{（m-4）}^{2}（2≤m＜4）}\end{array}\right.$．
（3）如下图，

直线的BD的解析式为y=3x+3，
设P点为A点关于直线BD的对称点，
则直线PA的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
设PA与BD交于点N，
将直线PA与BD的解析式联立可解得N（$\frac{2}{5}$，$\frac{21}{5}$），
设P（t，-$\frac{1}{3}$t+$\frac{13}{3}$），
则t+1=$\frac{2}{5}×2$，
∴t=-$\frac{1}{5}$，
∴P（-$\frac{1}{5}$，$\frac{22}{5}$），
∴PC的解析式为：$y=-\frac{11}{8}x+\frac{33}{8}$，
联立PC与BD与的解析式可解得：M（$\frac{9}{35}$，$\frac{132}{35}$）．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换、重叠面积的计算、待定系数法求一次函数解析式、两直线相互垂直的性质、关于某条直线的对称点的坐标求法，最短路径问题等众多知识点，综合性非常强，难度较大．第（2）问求重叠面积的关键在于找准重叠部分的形状；第（3）问的关键在于找到A点关于BD的对称点．