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    如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-
    1
    3
    mx+4    与x轴、y轴分别交于点A、B，且4OA=3OB，将直线AB沿y轴翻折与x轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点．
    （1）求m的值及直线BC的表达式；
    （2）若点D 在该抛物线上，且四边形OBDC为矩形，求该抛物线的表达式；
    （3）点E、F分别是线段AC、BC上的动点（点E不与点A、C重合），当∠BEF=∠BAO，且△BEF是等腰三角形时，求点E的坐标．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）首先求得直线与y轴的交点B的坐标，然后根据4OA=3OB求得线段OA的长，从而求得点A的坐标，代入已知直线即可求得m的值；然后根据翻折的性质得到点C的坐标，利用待定系数法确定直线BC的解析式即可；
    （2）根据四边形OCDB为矩形和点B、C的坐标确定点D的坐标，根据已知的点A和点B的坐标利用待定系数法确定抛物线的解析式即可；
    （3）首先证得△BEF∽△BCE，根据△BEF为等腰三角形，得到△BCE为等腰三角形，然后分当CE=CB=5时、当BE=BC时、当EC=EB时三种情况求得点E的坐标即可．
    解答：解：（1）将x=0代入直线y=-
    1
    3
    mx+4    ，
    解得：y=4，
    ∴点B的坐标为（0，4），
    ∴OB=4
    ∵4OA=3OB，
    ∴OA=3
    ∴点A的坐标为（3，0），
    ∴把点（3，0）代入y=-
    1
    3
    mx+4    ，
    解得m=4，
    由翻折可知，点C的坐标为（-3，0），
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    将点代入上式，得：
    -3k+b=0
    b=4
    ，
    解得：
    k=
    4
    3
    b=4

    ∴所求直线BC为y=
    4
    3
    x    +4；

    （2）∵四边形OBDC为矩形，
    ∴点D的坐标为（-3，4），
    ∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，
    ∴将点A（3，0），B（0，4），D（-3，4）分别代入y=ax2+bx+c，得：
    9a+3b+c=0
    9a-3b+c=4
    c=4

    解得：
    a=-
    2
    9
    b=-
    2
    3
    c=4
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    2
    9
    x2-2x+4；

    （3）由（1）可知BC=BA
    ∴∠BCA=∠BAC，
    而∠BEF=∠BAO，
    ∴∠BEF=∠BCO，
    ∴△BEF∽△BCE，
    ∵△BEF为等腰三角形，
    △BCE为等腰三角形，
    1、当CE=CB=5时，由OC=3，可知：OE=2，
    ∴E（2，0）；
    2、当BE=BC时，有E与A重合，不合题意，舍去．
    3、当EC=EB时，设点E（x，0），
    则（x+3）2=x2+42，
    解得x=
    7
    6
    ，
    ∴E（
    7
    6
    ，0）
    综上，所求点E坐标为（2，0）或（
    7
    6
    ，0）．
    点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还考查了待定系数法等知识，第三题中用到的分类讨论的数学思想更是中考的热点考题之一，难度较大．
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    8
    x
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    3
    x
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    x
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    		2014
    +3．

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    2
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    1
    a-2
    +
    1
    a+2
    ）÷
    2a
    a+2
    ，其中a=2-
    		2
    ．

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