Question

一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

Answer 1

【答案】分析：过点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．
解答：解：解法一，过点B作BM⊥AH于M，
∴BM∥AF．
∴∠ABM=∠BAF=30°
在△BAM中，AM=AB=5，BM=5
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
设CK=x，则BK=x
在Rt△ACN中，
∵在A处观测到东北方向有一小岛C，
∴∠CAN=45°，
∴AN=NC．
∴AM+MN=CK+KN
又NM=BK，BM=KN
∴x+5=5+x．解得x=5
∵5海里＞4.8海里，
∴渔船没有进入养殖场的危险
答：这艘渔船没有进入养殖场危险；
解法二，过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：
∴CE∥GB∥FA．
∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°
∴∠BCA=∠BAC，
∴BC=AB=10
在Rt△BCE中，CE=BC•cos∠BCE=BC•cos60°=10×=5（海里）
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险
答：这艘渔船没有进入养殖场的危险．
点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．