Question

23、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据“AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A”可以得到∠DOB+∠BDO=90°，∠AOE+∠AED=90°，又OP是∠MON的平分线、∠BDO与∠ADE是对顶角，所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE；
（2）根据轴对称的性质AD=DF，AE=AF，又AD=AE，所以四边形ADFE是菱形；
（3）∠MON=45°，则∠ACO=45°所以△EFC是等腰直角三角形，EF=FC，再证明△OAE与△OFE全等可以得到OA=OF，结合菱形的四条边都相等，即可得到OC=AC+AD．

解答：解：（1）AE=AD（2分）
理由：∵AD⊥OC，AC⊥OM，
∴∠ABO=∠EAO=90°，
∴∠AOD+∠DEA=∠DOB+∠ODB=90°，
∵∠AOD=∠DOB，∠ODB=∠ADE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；

（2）菱形（3分）
（法一）：连接DF、EF
∵点F与点A关于直线OP对称，
E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD．（5分）
由（1）得AE=AD
∴AE=FE=AD=FD
∴四边形ADFE是菱形（7分）

（法二）：连接AF交DE于点G，连接DF，EF．
点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE，AE=FE，（3分）
∴AG=FG，
又∵AE=AD
∴DG=EG
∴四边形ADFE是平行四边形（6分）
∵AF⊥DE
∴平行四边形ADFE是菱形（7分）
（3）OC=AC+AD（8分）
（法一）：证明：连接EF．
∵点F与点A关于直线OP对称，
∴AO=OF
∵AC⊥OM，∠MON=45°
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°
∴OF=AO=AC（10分）
由（2）知四边形ADFE是菱形
∴EF∥ABAD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90°
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF
∴FC=EF=AD
又∵OC=OF+FC
∴OC=AC+AD（12分）

（法2）证明：连接EF．
∵AC⊥OM，∠MON=45°
∴∠OAC=90°
∴∠ACO=∠MON=45°
∴AO=AC
由（2）知四边形ADFE是菱形
∴EF∥ABAD=EF
∵AB⊥ON
∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90°
∵∠ACO=45°
∴∠FEC=∠ACO=45°（9分）
∴FC=FE=AD
∵∠AOE=∠FOE
∵OE=OE，∠OAC=∠OFE=90°
∵△OAE≌△OFE（11分）
∴OA=OF
∴OF=AC
又∵OF+FC=OC
∴AC+AD=OC（12分）

（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE
∵∠OAE=90°
∴OA⊥GE
∴OG=OE
∴∠AOG=∠EOA
∵∠AOC=45°，OP平分∠AOC
∴∠AOE=22.5°
∴∠AOG=22.5°∠G=67.5°
∴∠COG=∠G=67.5°
∴CG=OC（10分）
由（1）得AD=AE
∵AD=AE=AG
∴AC+AD=OC（12分）

点评：（1）利用角平分线的性质和等角的余角相等求出角相等，再根据等角对等边的性质解答；
（2）考查轴对称的性质和四条边都相等的四边形是菱形的判定方法；
（3）利用菱形的性质和等腰直角三角形的性质证明．