Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中， A，B，C 为坐标轴上的三点，且OA＝OB＝OC＝4，过点A 的直线AD 交BC 于点D，交y 轴于点G，△ABD 的面积为8．过点C 作CE⊥AD，交AB 交于F，垂足为E．

（1）求D 点的坐标；

（2）求证：OF＝OG；

（3）在第一象限内是否存在点P，使得△CFP 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)D(2，2)；(2)OG=OF=；(3)P(4， )、(， )或(， ).

【解析】试题分析：

(1) 过点D作AB的垂线DM，则DM是△ABD的高. 根据已知条件容易求得线段AB的长，根据三角形的面积公式，可以得到线段DM的长，即点D的纵坐标. 利用已知条件易知△BOC是等腰直角三角形，从而可知△BMD也是等腰直角三角形. 利用等腰直角三角形的性质可知线段BM的长，进而获得点D的横坐标.

(2) 利用“同角的余角相等”可以得到∠EGC=∠OFC，利用对顶角关系易得∠OGA=∠OFC. 利用已知条件和上述结论可以证明△AOG与△COF全等，进而证明OF=OG.

(3) 由已知条件可知，当△PCF的三个内角分别等于90°时均存在满足题意的等腰直角三角形. 因此，本小题应该对这三种情况分别进行讨论. 根据题意画出各个情况的示意图. 当∠PCF=90°时，过点P作y轴的垂线PN. 通过全等三角形可以证明PN=CO，NC=OF. 因为已知线段CO的长，只要求得线段OF的长就可以写出点P的坐标. 要求线段OF的长就是要求线段OG的长. 利用△AOG与△AMD的相似关系求得线段OG的长，从而写出点P的坐标. 当∠CFP=90°时，过点P作x轴的垂线PH. 利用已知条件可以证明△FHP与△COF全等，从而利用全等三角形的性质和线段OF与OC的长写出点P的坐标. 当∠CPF=90°时，过点P作x轴的垂线PQ，过点P作y轴的垂线PR. 利用已知条件可以证明△CRP与△FQP全等，从而可知四边形OQPR是正方形. 利用线段FQ，OF与线段OC的数量关系可以求得线段FQ的长，进而获得线段PQ的长. 利用这些条件即可写出点P的坐标.

试题解析：

(1)

如图，过点D作DM⊥OB，垂足为M.

∵OA=OB=4，

∴AB=OA+OB=4+4=8.

∵△ABD的面积为8，即，

∴DM=2.

∵OB=OC，

∴在Rt△BOC中，∠OBC=45°，

∴在Rt△BMD中，BM=DM=2.

∴OM=OB-BM=4-2=2.

∴点D的坐标为(2, 2).

(2) 证明：∵CE⊥AD，

∴在Rt△CEG中，∠EGC+∠GCE=90°，即∠EGC+∠OCF=90°，

∵在Rt△COF中，∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠EGC=∠OFC，

∴∠OGA=∠OFC，

∵在△AOG和△COF中，

，

∴△AOG≌△COF (AAS).

∴OG=OF，即OF=OG.

(3) 根据题意，分别对下面三种情况进行讨论.

①∠PCF=90°，CF=CP (如图①).

过点D作DM⊥OB，垂足为M. 过点P作PN⊥OC，垂足为N.

∵∠PCN+∠OCF=180°-∠PCF=180°-90°=90°，

又∵在Rt△COF中，∠CFO+∠OCF=90°，

∴∠PCN=∠CFO.

∵在△PNC和△COF中，

，

∴△PNC≌△COF (AAS).

∴PN=CO=4，NC=OF.

∵DM⊥OB，

∴OG∥DM，

∴△AOG∽△AMD，

∴.

∵DM=2，AO=4，AM=AO+OM=4+2=6，

∴OG=，

∴NC=OF=OG=.

∴ON=OC+NC=4+=.

∴点P的坐标为(4, ).

②∠CFP=90°，CF=PF (如图②).

过点P作PH⊥OB，垂足为H.

∵∠HFP+∠CFO=180°-∠CFP=180°-90°=90°，

又∵在Rt△COF中，∠OCF+∠CFO=90°，

∴∠HFP=∠OCF.

∵在△FHP和△COF中，

，

∴△FHP≌△COF (AAS).

∴PH=FO=，FH=CO=4.

∴OH=OF+FH=+4=.

∴点P的坐标为(,).

③∠CPF=90°，PF=PC (如图③).

过点P作PQ⊥OB，垂足为Q. 过点P作PR⊥OC，垂足为R.

∵∠CPR+∠FPR=∠CPF=90°，

又∵∠FPQ+∠FPR=∠QPR=90°，

∴∠CPR=∠FPQ.

∵在△CRP和△FQP中，

，

∴△CRP≌△FQP (AAS).

∴CR=FQ，PR=PQ.

∵PR=PQ=OQ=OR.

∴OC=CR+OR=FQ+OQ=FQ+(OF+FQ)=2FQ+OF.

∴2FQ+=4.

∴FQ=.

∴PQ=OQ=OF+FQ=+=.

∴点P的坐标为(,).

综上所述，点P的坐标为(4, )，(,)或(,).