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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，面积S=9，建立如图所示的直角坐标系，已知A（1，0）、B（0，3）．
    （1）求C、D两点坐标；
    （2）取点E（0，1），连接DE并延长交AB于F，求证：DF⊥AB；
    （3）将梯形ABCD绕A点旋转180°到AB′C′D′，求对称轴平行于y轴，且经过A、B′、C′三点的抛物线的解析式；
    （4）是否存在这样的直线，满足以下条件：①平行于x轴，②与（3）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（3）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点？若存在，求出这个等边三角形的面积；精英家教网若不存在，请说明理由．
    分析：（1）依题意设C（-m，3），则D（-m-1，0），根据梯形面积公式可求m=2，求出C，D两点坐标；
    （2）通过证明△ODE≌△OBA，利用互余关系可证DF⊥AB；
    （3）利用中心对称画图，由对称性可确定A，B'，C'三点坐标，再求出抛物线解析式；
    （4）可根据等边三角形的高与边长的关系，建立等式求解；
    解答：精英家教网（1）解：依题意设C（-m，3），则D（-m-1，0），BC=m，AD=m+2，
    由梯形面积公式得（m+m+2）×3÷2=9，
    解得m=2，
    ∴C（-2，3），D（-3，0）；

    （2）证明：∵OD=OB=3，∠DOE=∠BOA=90°，OE=OA=1，
    ∴△ODE≌△OBA，
    ∴∠DEO=∠A，∠EDO+∠DEO=90°，
    ∴∠A+∠EDO=90°
    ∴DF⊥AB；

    （3）解：由旋转的性质可得B'（2，-3），C'（4，-3）又A（1，0），
    设抛物线解析式y=ax2+bx+c，
    代入得
    4a+2b+c=-3
    16a+4b+c=-3
    a+b+c=0
    ，
    解得
    a=1
    b=-6
    c=5
    ，精英家教网
    ∴y=x2-6x+5；

    （4）解：存在，设等边三角形边长为2n，
    ∵抛物线对称轴是x=3，顶点坐标（3，-4）
    则其中右交点为（n+3，n2-4），等边三角形高为n2-4-（-4）=n2；
    由等边三角形底，高的关系得
    		3
    n=n2；
    ∴n=
    		3
    ，
    此时等边三角形边长为2
    		3
    ，高为3，面积为3
    		3
    ．
    点评：本题考查了点的坐标、二次函数解析式求法，会用全等三角形解决垂直问题，会在图形中解决特殊三角形的应该问题，本题综合性很强．
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    精英家教网在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=60°，
    （1）求AD：BC；
    （2）若AD=2cm，求梯形ABCD的面积．

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    等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，则腰CD长是
    		5
    		5
    ．

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