Question

2．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长是4，M在DC上，M是CD的中点，点P是AC边上的一动点，则当DP+MP的值最小时，在图（1）备用图中作出点P的位置，求DP的值．
（2）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M是DC上的一个动点，连结AM，作BP⊥AM于点P，连结DP，当DP最小时，在图（2）备用图中作出点P的位置，求DP的值．

Answer 1

分析 （1）作点M关于BC的对称点M′，连结DM′交AC于点P，此时DP+MP最小，最小值为DM′，根据勾股定理求得DM′，然后根据三角形相似对应边成比例即可求得DP；
（2）以AB为直径作△APB的内接圆，当DP最小时，N、P、D三点共线，DP最小，根据勾股定理求得ND=$\sqrt{5}$，即可求得DP．

解答 解：（1）如图1①，

作点M关于BC的对称点M′，连结DM′交AC于点P，
此时DP+MP最小，最小值为DM′，
DM′=$\sqrt{D{C}^{2}+M{′C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
△ADP∽△CM′P，
∴DP：PM′=AD：CM′=2：1
∴DP=$\frac{2}{3}$DM′=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$；
（2）如图②正方形ABCD边长是4，所以三角形ABP的半径是2，DN长是2$\sqrt{5}$．DP最小是2√5-2．


∵BP⊥AM，
∴△ABP是直角三角形，
∴以AB为直径作△APB的外接圆，
∵正方形ABCD边长是4，
∴三角形ABP的半径是2，DN长是2$\sqrt{5}$．
当DP最小时，N、P、D三点共线
∴DP_最小值=2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，其知识点有：对称轴的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，三角形相似等，熟练掌握性质定理是解题的关键．