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2.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长是4,M在DC上,M是CD的中点,点P是AC边上的一动点,则当DP+MP的值最小时,在图(1)备用图中作出点P的位置,求DP的值.
(2)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点M是DC上的一个动点,连结AM,作BP⊥AM于点P,连结DP,当DP最小时,在图(2)备用图中作出点P的位置,求DP的值.

分析 (1)作点M关于BC的对称点M′,连结DM′交AC于点P,此时DP+MP最小,最小值为DM′,根据勾股定理求得DM′,然后根据三角形相似对应边成比例即可求得DP;
(2)以AB为直径作△APB的内接圆,当DP最小时,N、P、D三点共线,DP最小,根据勾股定理求得ND=$\sqrt{5}$,即可求得DP.

解答 解:(1)如图1①,

作点M关于BC的对称点M′,连结DM′交AC于点P,
此时DP+MP最小,最小值为DM′,
DM′=$\sqrt{D{C}^{2}+M{′C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵AD∥BC,
△ADP∽△CM′P,
∴DP:PM′=AD:CM′=2:1
∴DP=$\frac{2}{3}$DM′=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$;
(2)如图②正方形ABCD边长是4,所以三角形ABP的半径是2,DN长是2$\sqrt{5}$.DP最小是2√5-2.


∵BP⊥AM,
∴△ABP是直角三角形,
∴以AB为直径作△APB的外接圆,
∵正方形ABCD边长是4,
∴三角形ABP的半径是2,DN长是2$\sqrt{5}$.
当DP最小时,N、P、D三点共线
∴DP最小值=2$\sqrt{5}$-2.

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题,其知识点有:对称轴的性质,勾股定理的应用,圆周角定理,三角形相似等,熟练掌握性质定理是解题的关键.

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