Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E，BE=2，BC=6．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）求AE的长度；
（3）设AD与CE交于F，求△CFD的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再由CE⊥AB得出∠ADB=∠CEB=90°，进而可得出结论；
（2）根据△ABD∽△CBE可得出$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BD}{BE}$，进而可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出CE的长，再由∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB得出△CDF∽△CEB，由相似三角形的性质可得出DF的长，根据三角形的面积可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°．
∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△CBE；

（2）∵△ABD∽△CBE，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BD}{BE}$，即$\frac{AB}{6}$=$\frac{3}{2}$，解得AB=9，
∴AE=AB-BE=9-2=7；

（3）在Rt△BEC中，
∵BE=2，BC=6，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{DF}{BE}$，即$\frac{3}{4\sqrt{2}}$=$\frac{DF}{2}$，解得DF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△CFD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{4}$×3=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．