Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，M是AD上异于A和D的任意一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF为（　　）

• A． $\frac{60}{13}$
• B． $\frac{30}{13}$
• C． $\frac{15}{13}$
• D． 不能确定

Answer 1

分析 过A作AG⊥BD于G，连接OM，根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则ME+MF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为ME+MF的长．

解答 解：如图，过A作AG⊥BD于G，连接OM，
则S_△AOD=$\frac{1}{2}$×OD×AG，S_△AOM+S_△MOD=$\frac{1}{2}$×AO×ME+$\frac{1}{2}$×DO×MF=$\frac{1}{2}$×DO×（ME+MF），
∵S_△AOD=S_△AOM+S_△MOD，
∴ME+MF=AG，
∵AD=12，AB=5，
∴BD=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴AG=$\frac{12×5}{13}$，
∴ME+MF=$\frac{60}{13}$．
故选：A．

点评 此题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是掌握等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．