Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．
（1）求线段CD的长；
（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°-∠EBC．

Answer 1

（1）解：连接BD，
由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，
又∵BF⊥CD，
∴∠DFE=90°
又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，
∴△GAD≌△EFD，
∴DA=DF，
又∵BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF
又∵CF=6，
∴BC=，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠BDF=∠CBD，
∴CD=CB=8．

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠E=∠CBF，
∵∠HDF=∠E，
∴∠HDF=∠CBF，
由（1）得，∠ADB=∠CBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴HD=HB，
由（1）得CD=CB，
∴△CDH≌△CBH，
∴∠DCH=∠BCH，
∴∠BCH=∠BCD==．
分析：（1）连接BD，由题意得出∠GAD=90°，从而证明△GAD≌△EFD，得出DA=DF再证明Rt△BAD≌Rt△BFD，利用勾股定理求出BC，继而得出线段CD的长．
（2）结合（1）可得出∠ADB=∠CBD，CD=CB，然后证明△CDH≌△CBH，得出∠DCH=∠BCH后，即可得出结论．
点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，综合性较强，解答本题的关键是利用三角形全等的知识，将已知线段进行转化，另外要注意等角代换的应用，难度较大．