Question

【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．

原题：如图①，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

（1）思路梳理

因为，所以把绕点逆时针旋转90°至，可使与 重合．因为，所以，点共线．

根据 ，易证 ，得.请证明．

（2）类比引申

如图②，四边形中，，，点分别在边上，.若都不是直角，则当与满足等量关系时，仍然成立，请证明．

（3）联想拓展

如图③，在中，，点均在边上，且.猜想应满足的等量关系，并写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）SAS，△AFE；（2）；（3）．

【解析】

（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；

（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；

（1）∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，

∵AE=AG，∠EAF=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFE和△AFG中，

∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE2=BD2+EC2，理由如下：

根据ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACD′，如图，连接ED′．

∴ΔABDΔACD′．

∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′ AC．

在RtΔABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′ CE=90°，

∴D’C2+CE2=D′E2．

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′ AE=45°．

∴ΔAD′ EΔADE，

∴ED=ED′，

∴DE2=BD2+EC2．