Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB交AC于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记做S₁，取BE边中点E₁，作E₁D₁∥FB交EF于点D₁，E₁F₁∥EF交AB于点F₁，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记做S₂．照此规律作下去，则S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S₁的值，进而可得出S₂的值，找出规律即可得出S₂₀₁₃的值．

解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1×

3

2

=

3

2

，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=

1

2

，
∴S₁=

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

8

；
同理可得，S₂=

3

8

×

1

4

；
…
∴S_n=

3

8

×（

1

4

）^n-1；
∴S₂₀₁₃=

3

8

×（

1

4

）²⁰¹²=

3

24027

．
故答案为：

3

24027

．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．