Question

【题目】 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点M，N分别是边AB，BC上的动点，△BMN与△B′MN关于直线MN对称，点B的对称点为B′．

（1）如图1，当B′在边AC上时，若∠CNB′=25°，求∠AMB′的度数；

（2）如图2，当∠BMB′=30°且CN=MN时，若CMBC=2，求△AMC的面积；

（3）如图3，当M是AB边上的中点，B′N交AC于点D，若B′N∥AB，求证：B′D=CN．

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由△MNB′是由△MNB翻折得到，推出∠B=∠MB′N=45°，∠MNB=∠MNB′=(180°-25°)=77.5°，推出∠NMB=∠NMB′=57.5°，可得∠BMB°=115°解决问题．

（2）如图2，作MH⊥AC于H．首先证明，推出S△ACM=即可解决问题．

（3）如图3，设AM=BM=a，则AC=BC=a．通过计算证明CN=DB′即可．

（1）如图，

∵∠C=90°，CA=CB，

∴∠A=∠B=45°，

∵△MNB′是由△MNB翻折得到，

∴∠B=∠MB′N =45°，∠MNB=∠MNB′=(180°-25°)=77.5°，

∴∠NMB=∠NMB′=57.5°，

∴∠BM B′=115°，

∴∠AMB′=180°-115°=65°；

（2）∵△MNB′是由△MNB翻折得到，∠BMB′=30°，

∴∠BMN=∠NMB′=15°，

∵∠B=45°，

∴∠CNM=∠B+∠NMB=60°，

∵CN=MN，

∴△CMN是等边三角形，

∴∠MCN=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACM=30°，

如图，作MH⊥AC于H．

∴∠MHC=90°，

∴MH=CM，

∵S△ACM=ACMH=BCCM=CMBC=；

（3）如图，设AM=BM=a，则AC=BC=a．

∵NB′∥AB，

∴∠CND=∠B=45°，∠MND=∠NMB，

∵∠MNB=∠MND，

∴∠NMB =∠MNB，

∴MB=BN=a，

∴CN=a-a，

∵∠C=90°，

∴∠CDN=∠CND=45°，

∴CD=CN，

∵CA=CB，

∴AD=BN=a，

设AD交MB′于点O，

∵MB=BN，∠B=45°，

∴∠BMN=，

∵△MNB′是由△MNB翻折得到，

∴∠BMN=∠NMB′=，

∴∠AMO=180∠BMN∠NMB′=180，

∴是等腰直角三角形，且AM=a，

∴AO=OM=a，OB′=OD=a-a，

∴DB′=OD=a-a，

∴B′D=CN．