Question

8．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①AG⊥BE；②BG=4GE；③S_△BHE=S_△CHD；④∠AHB=∠EHD．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan∠EAG=$\frac{1}{2}$，得到AG=$\frac{1}{2}$BG，GE=$\frac{1}{2}$AG，于是得到BG=4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S_△BDE=S_△CDE，推出S_△BDE-S_△DEH=S_△CDE-S_△DEH，即；S_△BHE=S_△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确；

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
在△BAE和△CDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠BAE=∠CDE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE=∠DCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵在△ADH和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADH=∠CDH}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD=∠HCD，
∵∠ABE=∠DCE
∴∠ABE=∠HAD，
∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，
∴AG⊥BE，故①正确；
∵tan∠ABE=tan∠EAG=$\frac{1}{2}$，
∴AG=$\frac{1}{2}$BG，GE=$\frac{1}{2}$AG，
∴BG=4EG，故②正确；
∵AD∥BC，
∴S_△BDE=S_△CDE，
∴S_△BDE-S_△DEH=S_△CDE-S_△DEH，
即；S_△BHE=S_△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD=∠CHD，
∴∠AHB=∠CHB，
∵∠BHC=∠DHE，
∴∠AHB=∠EHD，故④正确；
故选：D．

点评 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．