Question

如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求证：∠ABD=∠BAD=45°；
（2）求四边形ADBC的面积S_{四边形ADBC}．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理易证△ABD是等腰直角三角形即可证得；
（2）求得△ABC和△ABD的面积，二者的和就是四边形的面积．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=

180°-90°

2

=45°；

（2）解：∵直角△ABD中，AD=BD，
则AD=BD=

2

2

AB=5

2

，
则S_△ABD=

1

2

AD•BD=

1

2

×5

2

×5

2

=25（cm²），
在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8（cm），
则S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×6×8=24，
则S_{四边形ADBC}=S_△ABD+S_△ABC=25+24=49（cm²）．

点评：本题考查了圆周角定理，正确证明△ABD是等腰直角三角形是关键．