Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=4．点E从D向C以每秒2个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒3个单位的速度运动，当经过$\frac{6}{5}$秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点？

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADE≌△EQF，AD=EQ=4，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时，DQ+CM至少等于AB，DE为点E的路程：2t，CM为直线MN的路程：3t，所以2t+4+3t≥10，求出t的取值．

解答 解：过F作FQ⊥DC于Q，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠DEA+∠FEQ=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠FEQ=∠DAE，
在△ADE和△EQF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠EQF=90°}\\{∠DAE=∠FEQ}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△EQF，
∴AD=EQ=4，
当直线MN和正方形AEFG开始有公共点，
DQ+CM≥10，
2t+4+3t≥10，
t≥$\frac{6}{5}$，
当经过$\frac{6}{5}$秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点，
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了正方形、矩形的性质，熟练掌握正方形的四边相等且每个角为90°，矩形的四个角为90°；通过三角形全等将EQ转化为AD，可以表示出DQ+CM的长；本题有动点运动问题，要会表示动点的路程：时间×速度．