Question

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S_△FCD=5，BC=10，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．

解答：（1）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴

S△FCD

S△ABC

=(

CD

CB

)2=(

1

2

)2=

1

4

．
∵S_△FCD=5，
∴S_△ABC=20．
又∵S_△ABC=

1

2

×BC×AM，BC=10，
∴AM=4．
又DM=CM=

1

2

CD，DE∥AM，
∴DE：AM=BD：BM=

2

3

，
∴DE=

8

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．