Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上的一个动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，

（1）试证明：CH=EF+EG

（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则CH、EF、EG之间有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）CH=EF-EG；（3）EF+EG= BD

【解析】

（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证△EGC≌△CNE得出结论．

（2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC=FO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想．

（3）连接BE和AC，交BD于O，由正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，由三角形面积关系得出S△BCH=S△BCE+S△BHE，证出OC=EG+EF，即可得出结论．

（1）证明：过E点作EN⊥CH于N．

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

∴四边形EFHN是矩形．

∴EF=NH，FH∥EN．

∴∠DBC=∠NEC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，且互相平分

∴∠DBC=∠ACB

∴∠NEC=∠ACB

∵EG⊥AC，EN⊥CH，

∴∠EGC=∠CNE=90°，

又∵EC=CE，

∴△EGC≌△CNE．

∴EG=CN

∴CH=CN+NH=EG+EF；

（2）解：猜想CH=EF-EG；

过C点作CO⊥EF于O，

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

易得四边形COFH为矩形，

∴CH=OF，

由（1）得∠DBC=∠ACB

又CO∥BD，

∴∠OCE=∠DBC，且∠ECG=∠ACB，

∴∠OCE=∠GCE

又CE=CE，

∴△COE≌△CGE

∴EO=EG

∴CH=EF-EO=EF-EG;

（3）解：EF+EG=BD；

连接BE和AC，交BD于O，如图3所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，

∵EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，

∵S△BCH=S△BCE+S△BHE，

∴BHOC=BCEG+BHEF，

∴OC=EG+EF，

∴EF+EG=BD；