Question

在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD的大小为

 

；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，得∠ABC=∠ACB=40°，当α=60°时，△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，求出∠BAD的度数，进而求得∠CBD；
（2）由∠BAC=100°，AB=AC，求出∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等得到答案．

解答：解：（1）∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，当α=60°时，
由旋转的性质得AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-60°=40°，
∵AB=AC，AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB=

180°-∠DAD

2

=

180°-40°

2

=70°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=70°-40°=30°；
（2）如图2，作等边△AFC，连结DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，
∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，
∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，
∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，
∴∠CAD=80°．
∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，
∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．
∴FD=BD．
∴FD=BD=FB．
∴∠DBF=60°．
∴∠CBD=30°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．