Question

如图所示，在等腰Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D是直角边BC上的一点，且PD＝PB，DE⊥AC，垂足为E．

(1)求证：PE＝BO；

(2)设AC＝2a，AP＝x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明因为△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AC的中点， 　　所以BO⊥AC，BO＝CO＝AC． 　　所以∠OBC＝∠C＝． 　　因为PB＝PD， 　　所以∠PBD＝∠PDB， 　　所以∠PBO＝∠PBD－∠OBC＝∠PDB－∠C＝∠DPE． 　　因为DE⊥AC， 　　所以∠PED＝＝∠BOP． 　　在△BPO与△PDE中， 　　 　　所以△BPO≌＝△PDE， 　　所以BO＝PE． 　　(2)由△BPO≌△PDE知DE＝PO． 　　因为△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AC的中点， 　　所以BO＝CO＝AO＝AC． 　　则DE＝PO＝a－x，BO＝PE＝a，OE＝x． 　　因为S四边形PBDE＝S△BPO＋S梯形BOED， 　　所以y＝(a－x)·a＋(a＋a－x)·x 　　　　＝x2＋ax＋a2． 　　自变量x的取值范围是0＜x＜a．