Question

14．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AB相交于E．若AB=25，BC=15，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为$\frac{125}{6}$．

Answer 1

分析 先根据△ABC是直角三角形可求出AC的长，再根据AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，故点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，再根据DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可得出AE的长，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的长．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=25，BC=15，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=20，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=10，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{10}{20}$=$\frac{AE}{25}$，解得AE=$\frac{25}{2}$，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{25}{2}}{15}=\frac{DE}{25}$，解得DE=$\frac{125}{6}$．
故答案为：$\frac{125}{6}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短线路问题及相似三角形的判定与性质，根据轴对称的性质得出DE=DP是解答此题的关键．