【题目】(操作发现)
如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;
(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=____.
(问题解决)
(3)如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:
想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;
想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.…
请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)
【答案】(1)如图,△AB′C′即为所求;见解析;(2)45°;(3)S△APC=.
【解析】
(1)如图所示,△AB′C′即为所求;
(2)利用等腰三角形的性质即可解决问题;
【问题解决】
结论:PA2+PB2=PC2.
证法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;
证法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.
(1)如图,△AB′C′即为所求;
(2)∵△ABB′是等腰直角三角形,
∴∠AB′B=45°.
故答案为45°;
(3)如图②,
∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,
∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,
∴PP′= PC,即AP= PC
∵∠APC=90°,∴AP2+PC2=AC2 , 即(PC)2+PC2=72 , ∴PC=,
∴AP=,∴S△APC=APPC=
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,一次函数y=-x+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)点P(x,y)是直线AB上在第一象限内的一个点,过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,令△POD的面积为S,当S>时,直接写出点P横坐标x的取值范围.
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【题目】如图,点在线段上,在的同侧作等腰和等腰,与、分别交于点、.对于下列结论:
①;②;③.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ① C. ①② D. ②③
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【题目】如图,已知函数(x>0)的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,2).过点A作AC∥y轴,AC=1(点C位于点A的下方),过点C作CD∥x轴,与函数的图象交于点D,过点B作BE⊥CD,垂足E在线段CD上,连接OC,OD.
(1)求△OCD的面积;
(2)当BE=AC时,求CE的长.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(-,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1<y2, 其中结论正确的是________.
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