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【题目】(操作发现)

如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上.

1)请按要求画图:将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′

2)在(1)所画图形中,∠AB′B=____

(问题解决)

3)如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点PABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求APC的面积.

小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:

想法一:将APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到AP′B,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系;

想法二:将APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到AP′C′,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系.

请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)

【答案】1)如图,AB′C′即为所求;见解析;(245°;(3SAPC=.

【解析】

1)如图所示,△ABC′即为所求;

2)利用等腰三角形的性质即可解决问题;

【问题解决】

结论:PA2+PB2=PC2

证法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△APB,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系;

证法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△APC′,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系.

1)如图,AB′C′即为所求;

2)∵△ABB′是等腰直角三角形,
∴∠ABB=45°.
故答案为45°;

3)如图

APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到AP′C′

∴△APP′是等边三角形,AP′C=∠APB=360°90°120°=150°

PP′=APAP′P=∠APP′=60°∴∠PP′C=90°P′PC=30°

PP′= PC,即AP= PC

∵∠APC=90°AP2+PC2=AC2 即(PC2+PC2=72 PC=

AP=SAPC=APPC=

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