Question

已知：如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），

解答下列各问题：
（1）填空：△ABC的面积为

 

cm²．
（2）当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
（3）当△PBQ是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：动点型

分析：（1）如图1，作辅助线；求出AM的长度，借助面积公式，即可解决问题．
（2）由BP=BQ，列出关于t的方程，即可解决问题．
（3）运用分类讨论的数学思想，按∠PQB=90°或∠BP′Q′=90°两种情况逐一解析，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，过点A作AM⊥BC于点M；
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴AB=AC=6，BM=CM=3，∠B=60°，
∴BM=

1

2

AB=3，AM=3

3

；
∴△ABC的面积=

1

2

×6×3

3

=9

3

（cm²）．
故答案为9

3

．
（2）如备用图1，由（1）知∠B=60°，
∴当PB=BQ时，△PBQ为等边三角形；
∴6-t=t，解得：t=3，
即当t=3s时，△PBQ为等边三角形．
（3）如备用图2，若∠PQB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，PB=2BQ；
即6-t=2t，解得：t=2s；
若∠BP′Q′=90°，
同理可求：t=4s．
∴当t=2s或4s时，△PBQ是直角三角形．

点评：该题主要考查了等边三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．